5.6 Kinematyka odwrotna

5.6. Kinematyka odwrotna

W kinematyce prostej pokazano jak określać pozycję i orientację końcówki roboczej w zależności od zmiennych przegubowych. Natomiast kinematyka odwrotna polega na znalezieniu zmiennych przegubowych w zależności od pozycji i orientacji końcówki roboczej. W ogólnym przypadku jest ono trudniejsze niż zadanie kinematyki prostej ponieważ czasami nie istnieje jednoznaczne rozwiązanie wynikające z nieliniowości równań kinematyki. Problem kinematyki odwrotnej można przedstawić następująco. Dana jest jednorodna macierz przekształcenia w postaci 4´4 (5.30):

(5.34)

Należy znaleźć (jedno lub wszystkie) rozwiązania równania:

(5.35)

Gdzie:

(5.36)

Równanie (5.35) daje 12 nieliniowych równań z n niewiadomymi, które mogą być zapisane jako:

(5.37)

Gdzie T_ij, h_ijoznaczają 12 nieliniowych elementów macierzy, odpowiednio T_n,0 i H. (Ponieważ dolne wiersze obu macierzy T_n,0 i H wynoszą (0,0,0,1), więc spośród 16 równań reprezentowanych przez zależność (5.35) cztery są niewykorzystywane.

Podobnie jak w przypadku kinematyki prostej istnieje kilka sposobów rozwiązywania tego typu zagadnień w zależności od stopnia skomplikowania struktury manipulatora. Tak więc można próbować rozwiązać zadanie geometrycznie lub analitycznie (bazując na notacji DH).

Przykład 5.15

 

Wyznaczyć współrzędne konfiguracyjne poszczególnych członów manipulatora  2-członowego przedstawionego na rys. 5.41. Dana jest długość członów manipulatora odpowiednio a₁, a₂ oraz znane jest położenie chwytaka w przestrzeni C=[x,y]

Rozwiązanie

Równania kinematyki prostej są najczęściej nieliniowe co powoduje, że równania nie są proste do rozwiązania, a czasami nie istnieje jednoznaczne  ich rozwiązanie. Na przykład w przypadku dwuczłonowego mechanizmu płaskiego może nie być w ogóle rozwiązania, gdy współrzędne (x,y) są poza zasięgiem manipulatora.

Może istnieć jedno rozwiązanie, jeśli manipulator ma całkowicie wyprostowane ramiona. Gdy współrzędne (x,y) mieszczą się w zasięgu manipulatora, mogą istnieć dwa rozwiązania, tak jak to pokazano na rys. 5.42, czyli konfiguracje \”łokieć do góry\” i \”łokieć w dół\”. Rozwiązując to zadanie metodą geometryczną można zapisać (rys. 5.43):

Wykorzystując prawo sinusów zapisano:

Następnie można napisać iż pierwsza współrzędna złączowa ma postać:

Gdzie:

Uwaga! Należy zaznaczyć iż kąt a jest związana z wartością funkcji tangens w odpowiedniej ćwiartce układu współrzędnych.

Ostatecznie q₁ można zapisać w postaci:

Wykorzystując prawo cosinusów zapisanoq₂ w postaci:

Analizując powyższe rozwiązanie można stwierdzić iż rozwiązując zadanie odwrotne kinematyki dla tego 2-członowego manipulatora można otrzymać kilka rozwiązań (rys. 5.42). Poniżej zamieszczono kod w programie Maple^TM umożliwiający rozwiązanie powyższego przykładu.

>          restart:

>          equation_1:=(sin(beta))/a[2]=(sin(Pi-theta[2]))/(x^2+y^2)^(1/2);

>          beta:=solve(equation_1,beta);

>          equation_2:=tan(alpha)=y/x;

>          alpha:=solve(equation_2,alpha);

>          theta[1]:=beta+alpha;

>          equation_3:=(x^2+y^2)=a[1]^2+a[2]^2-2*a[1]*a[2]*cos(Pi-theta[2]);

>          theta[2]:=simplify((solve(equation_3,theta[2])),trig); 

Istnieje możliwość rozwiązania kinematyki odwrotnej również w sposób analityczny wykorzystując odpowiednie zależności trygonometryczne lub wykorzystanie Notacji Denavita-Hartenberga. Poniżej przedstawiono sposób rozwiązania analitycznego manipulatora 2-członowego wykorzystując Notację DH oraz program do obliczeń symbolicznych Maple^TM.Aby rozwiązać kinematykę odwrotną z wykorzystaniem Notacji DH (zależności 5.34, 5.35, 5.36, 5.37) należy wykorzystać macierz T_2,0 otrzymaną dla tego manipulatora z zadania prostego kinematyki (przykład 5.9):

Następnie znając pozycję i orientację końcówki efektora w przestrzeni porównać odpowiednie komórki w macierzy T_2,0. W analizowanym przypadku znana jest pozycja efektora C (x,y) oraz widać z macierzy T_2,0, iż układ posiada 2 stopnie swobody, tak więc wystarczy wykorzystać 2 równania aby wyznaczyć współrzędne złączowe.

tak przygotowany układ równań należy rozwiązać np. w programie do obliczeń symbolicznych np. Maple. Zapis funkcji w tym programie przedstawiono poniżej.

>     restart:

>     T[2,0]:=matrix([[cos(theta[1]+theta[2]),-sin(theta[1]+theta[2]), 0,a[2]*cos(theta[1]+theta[2])+cos(theta[1])*a[1]], [sin(theta[1]+theta[2]),cos(theta[1]+theta[2]),0,a[2]*sin(theta[1]+theta[2])+sin(theta[1])*a[1]],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]);

>     equ_1:=subs({theta[2]=theta_2,theta[1]=theta_1},T[2,0][1,4])=x;

>     equ_2:=subs({theta[2]=theta_2,theta[1]=theta_1},T[2,0][2,4])=y;

>     evalf(solve({equ_1,equ_2},{theta_1,theta_2}));

W celu interpretacji rozwiązania zadania odwrotnego kinematyki dla przykładu 5.15 przyjęto parametry konstrukcyjne a₁=0.1 [m], a₂=0.2 [m]. Natomiast pozycja w przestrzeni została określona przez współrzędne x=0.2 [m], y=0.1 [m].

Wykonując obliczenia z wykorzystaniem programu Maple^TM otrzymano następujące rozwiązanie:

Otrzymane rozwiązanie należy poddać interpretacji geometrycznej. Wynik pierwszy jest osiągalny przez analizowaną strukturę i jest to prawidłowe rozwiązanie przykładu, natomiast wynik 2 jest rozwiązaniem osobliwym czyli niemożliwym do osiągnięcia z punktu widzenia geometrycznego.

Przykład 5.16

Wyznaczyć współrzędne konfiguracyjne poszczególnych członów manipulatora  2-członowego przedstawionego na rys. 5.44. Dana jest długość członów manipulatora odpowiednio a₁, d₃ oraz znane jest położenie chwytaka w przestrzeni C=[x,y]

 Rozwiązanie

Podobnie jak w przykładzie 5.15 zaprezentowano rozwiązanie analityczne oparte na notacji Denavita-Hartenberga:

Tak przygotowany układ równań należy rozwiązać np. w programie do obliczeń symbolicznych Maple. Kod przedstawiono poniżej.

>          restart:

>          T[3,0]:= matrix([[sin(theta[1]),0,cos(theta[1]), cos(theta[1])*d[3]+cos(theta[1])*a[1]],[-cos(theta[1]), 0,sin(theta[1]),sin(theta[1])*d[3]+sin(theta[1])*a[1]],[0,-1,0, 0],[0,0,0,1]]);

>          equ_1:=T[3,0][1,4]=x;

>          equ_2:=T[3,0][2,4]=y;

>          evalf(solve({equ_1,equ_2},{d[3],theta[1]})); 

W celu interpretacji rozwiązania zadania odwrotnego kinematyki dla przykładu 5.16 przyjęto parametry konstrukcyjne a₁=1 [m]. Natomiast pozycja w przestrzeni została określona przez współrzędne x=1.5 [m], y=0 [m].

Wykonując obliczenia z wykorzystaniem programu Maple^TM otrzymano następujące rozwiązanie:

Otrzymane rozwiązanie należy poddać interpretacji geometrycznej. Wynik drugi jest osiągalny przez analizowaną strukturę i jest to prawidłowe rozwiązanie przykładu, natomiast wynik 1 jest rozwiązaniem osobliwym czyli niemożliwym do osiągnięcia z punktu widzenia geometrycznego.